三角形中重心、内心、外心、垂心向量计算公式
zhl555666
于 2021-07-03 18:31:33 发布
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本文详细探讨了平面几何中三角形的重心、内心、外心和垂心的向量性质，并通过向量运算进行严密的数学证明。证明了重心的性质是三个向量之和为零向量，内心的性质是角平分线上的比例关系，外心的性质是半径相等，以及垂心的性质是对应边的向量点乘相等。这些性质是几何学中的基本定理，对于理解和解决相关问题至关重要。
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一、对ΔABC重心O来讲有
OA⇀+OB⇀+OC⇀=0⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀+OB⇀+OC⇀=0⇀
证明：延长CO与线段AB‾\overline{AB}AB交于点D，
根据A、D、B三点共线公式
OD⇀=mOA⇀+nOB⇀\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}=m\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+n\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}OD⇀=mOA⇀+nOB⇀(其中m+n=1)，因为D是线段AB‾\overline{AB}AB的中点，所以有
OA⇀+OB⇀=2OD⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=2\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀+OB⇀=2OD⇀
又因OC⇀=2DO⇀\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=2\mathop{DO}\limits ^{\rightharpoonup}OC⇀=2DO⇀，
所以OA⇀+OB⇀+OC⇀=0⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀+OB⇀+OC⇀=0⇀，得证。
反过来，如果
OA⇀+OB⇀+OC⇀=0⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀+OB⇀+OC⇀=0⇀
则OA⇀+OB⇀+OC⇀=(OD⇀+DA⇀)+(OD⇀+DB⇀)+OC⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup})+(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀+OB⇀+OC⇀=(OD⇀+DA⇀)+(OD⇀+DB⇀)+OC⇀
=(OC⇀+2OD⇀)+(DA⇀+DB⇀)=(\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}+2\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup})+(\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})=(OC⇀+2OD⇀)+(DA⇀+DB⇀)
=mOD⇀+nDA⇀=0⇀=m\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+n\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}=mOD⇀+nDA⇀=0⇀，
因OD⇀\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}OD⇀与DA⇀\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}DA⇀线性无关，所以上式要取得0⇀\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}0⇀只有
OC⇀+2OD⇀=0⇀\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}+2\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}OC⇀+2OD⇀=0⇀并且DA⇀+DB⇀=0⇀\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}DA⇀+DB⇀=0⇀，
可得DA‾\overline{DA}DA=BD‾\overline{BD}BD，以及CO‾\overline{CO}CO=2OD‾\overline{OD}OD，即D是线段AB‾\overline{AB}AB的中点，O为ΔABC的重心。
二、对ΔABC内心O来讲有
aOA⇀+bOB⇀+cOC⇀=0⇀a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}aOA⇀+bOB⇀+cOC⇀=0⇀
证明：延长CO与线段AB‾\overline{AB}AB交于点D，
因为CD‾\overline{CD}CD是∠ACB的角平分线，
根据角平分线性质，线段
OA‾/OB‾=CA‾/CB‾=DA‾/DB‾=b/a\overline{OA}/\overline{OB}=\overline{CA}/\overline{CB}=\overline{DA}/\overline{DB}=b/aOA/OB=CA/CB=DA/DB=b/a，
并且
CO‾/OD‾=CA‾/AD‾=CB‾/BD‾=(CA‾+CB‾)/(AD‾+BD‾)=(a+b)/c\overline{CO}/\overline{OD}=\overline{CA}/\overline{AD}=\overline{CB}/\overline{BD}=(\overline{CA}+\overline{CB})/(\overline{AD}+\overline{BD})=(a+b)/cCO/OD=CA/AD=CB/BD=(CA+CB)/(AD+BD)=(a+b)/c，
而CO‾\overline{CO}CO与OD‾\overline{OD}OD共线，长度比为(a+b)/c(a+b)/c(a+b)/c，故
(a+b)OD⇀+cOC⇀=0⇀(a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}(a+b)OD⇀+cOC⇀=0⇀，
再根据A、D、B三点共线性质有
aOA⇀+bOB⇀=(a+b)OD⇀a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=(a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}aOA⇀+bOB⇀=(a+b)OD⇀，所以
aOA⇀+bOB⇀+cOC⇀=(a+b)OD⇀+cOC⇀=0⇀a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=(a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}aOA⇀+bOB⇀+cOC⇀=(a+b)OD⇀+cOC⇀=0⇀，得证。
反之，若已知aOA⇀+bOB⇀+cOC⇀=0⇀a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}aOA⇀+bOB⇀+cOC⇀=0⇀，则
aOA⇀+bOB⇀+cOC⇀=a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=aOA⇀+bOB⇀+cOC⇀=
a(OD⇀+DA⇀)+b(OD⇀+DB⇀)+c(OD⇀+DC⇀)=a(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup})+b(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})+c(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DC}\limits ^{\rightharpoonup})=a(OD⇀+DA⇀)+b(OD⇀+DB⇀)+c(OD⇀+DC⇀)=
(a+b+c)OD⇀+cDC⇀+(aDA⇀+bDB⇀)=(a+b+c)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{DC}\limits ^{\rightharpoonup}+(a\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})=(a+b+c)OD⇀+cDC⇀+(aDA⇀+bDB⇀)=
(a+b)OD⇀+cOC⇀+(aDA⇀+bDB⇀)=0⇀(a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}+(a\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}(a+b)OD⇀+cOC⇀+(aDA⇀+bDB⇀)=0⇀
因向量((a+b)OD⇀+cOC⇀)((a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup})((a+b)OD⇀+cOC⇀)与(aDA⇀+bDB⇀)(a\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})(aDA⇀+bDB⇀)线性无关，所以上式要取得0⇀\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}0⇀，只有
(aDA⇀+bDB⇀)=0⇀(a\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup}(aDA⇀+bDB⇀)=0⇀，再由DA‾\overline{DA}DA与BD‾\overline{BD}BD共线，
可得AD‾/DB‾=AC‾/CB‾=b/a\overline{AD}/\overline{DB}=\overline{AC}/\overline{CB}=b/aAD/DB=AC/CB=b/a，即线段CD‾\overline{CD}CD是∠ACB的角平分线，同理可证另两条角平分线AO‾\overline{AO}AO和BO‾\overline{BO}BO，O为ΔABC的内心。另外，
OC‾/OD‾=(a+b)/c\overline{OC}/\overline{OD}=(a+b)/cOC/OD=(a+b)/c。
三、对ΔABC外心O来讲有
OA⇀2=OB⇀2=OC⇀2{\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}}^2={\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}}^2={\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}}^2OA⇀2=OB⇀2=OC⇀2，
证明：线段OA‾\overline{OA}OA，OB‾\overline{OB}OB，OC‾\overline{OC}OC为外接圆的半径，所以等长，向量OA⇀2{\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}}^2OA⇀2内积为长度的平方。
四、对ΔABC垂心O来讲有
OA⇀⋅OB⇀=OB⇀⋅OC⇀=OC⇀⋅OA⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀⋅OB⇀=OB⇀⋅OC⇀=OC⇀⋅OA⇀
证明：因为线段AB‾⊥CO‾\overline{AB}⊥\overline{CO}AB⊥CO，所以
OC⇀⋅AB⇀=0\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{AB}\limits ^{\rightharpoonup}=0OC⇀⋅AB⇀=0，因
AB⇀=AO⇀−BO⇀\mathop{AB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{AO}\limits ^{\rightharpoonup}-\mathop{BO}\limits ^{\rightharpoonup}AB⇀=AO⇀−BO⇀，所以
OC⇀⋅(AO⇀−BO⇀)=0\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·(\mathop{AO}\limits ^{\rightharpoonup}-\mathop{BO}\limits ^{\rightharpoonup})=0OC⇀⋅(AO⇀−BO⇀)=0，化简得
OC⇀⋅AO⇀=OC⇀⋅BO⇀\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{AO}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{BO}\limits ^{\rightharpoonup}OC⇀⋅AO⇀=OC⇀⋅BO⇀，即
OC⇀⋅OA⇀=OB⇀⋅OC⇀\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}OC⇀⋅OA⇀=OB⇀⋅OC⇀，同理可证
OA⇀⋅OB⇀=OB⇀⋅OC⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀⋅OB⇀=OB⇀⋅OC⇀，即
OA⇀⋅OB⇀=OB⇀⋅OC⇀=OC⇀⋅OA⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀⋅OB⇀=OB⇀⋅OC⇀=OC⇀⋅OA⇀。
反之也可证，当
OA⇀⋅OB⇀=OB⇀⋅OC⇀=OC⇀⋅OA⇀\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}OA⇀⋅OB⇀=OB⇀⋅OC⇀=OC⇀⋅OA⇀时，O为ΔABC垂心。